ادامه حل تمرین صفحه 70 ریاضی و آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ ماکسیمم‌سازی حاصل ضرب با جمع ثابت صفحه 70 ریاضی دهم انسانی هدف این تمرین، تبدیل یک حاصل‌ضرب ($\mathbf{y = xa}$) به یک تابع درجه دوم و سپس یافتن نقطه‌ی بیشینه آن است. ### گام ۱: تبدیل حاصل ضرب به تابع یک متغیره از رابطه‌ی $\mathbf{2x + a = 10}$ استفاده می‌کنیم تا $\mathbf{a}$ را بر حسب $\mathbf{x}$ بنویسیم: $$\mathbf{a = 10 - 2x}$$ سپس، $\mathbf{a}$ را در تابع $\mathbf{y = xa}$ جایگذاری می‌کنیم تا $\mathbf{y}$ فقط تابعی از $\mathbf{x}$ شود ($athbf{f(x)}$): $$\mathbf{f(x) = x(10 - 2x)}$$ $$\mathbf{f(x) = 10x - 2x^2}$$ $$\mathbf{f(x) = -2x^2 + 10x}$$ ### گام ۲: یافتن مقدار $\mathbf{x}$ برای ماکسیمم مقدار ($athbf{x_{\text{رأس}}}$) این تابع یک سهمی رو به پایین است ($athbf{a = -2}$)، پس دارای ماکسیمم است. * **ضرایب:** $\mathbf{a = -2}$، $\mathbf{b = 10}$، $\mathbf{c = 0}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-2)} = -\frac{10}{-4} = \frac{5}{2}}$$ $$\mathbf{x = 2.5}$$ ### گام ۳: یافتن مقدار $\mathbf{a}$ مقدار $\mathbf{x = 2.5}$ را در رابطه‌ی اولیه $\mathbf{a = 10 - 2x}$ جایگذاری می‌کنیم: $$\mathbf{a = 10 - 2(2.5) = 10 - 5}$$ $$\mathbf{a = 5}$$ ### گام ۴: محاسبه ماکسیمم مقدار $\mathbf{y}$ $$\mathbf{y_{\text{ماکسیمم}} = x \times a = (2.5) \times (5) = 12.5}$$ **پاسخ نهایی:** مقادیر $\mathbf{x = 2.5}$ و $\mathbf{a = 5}$ باعث می‌شوند حاصل ضرب $\mathbf{y = xa}$ ماکسیمم شود. (ماکسیمم مقدار $\mathbf{12.5}$ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ بیشترین سود روزانه از تابع درجه دوم صفحه 70 ریاضی دهم انسانی این مسئله نیز یک کاربرد مستقیم از **توابع درجه دوم** در اقتصاد است. بیشترین سود همیشه در **رأس سهمی** اتفاق می‌افتد. ### الف) تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$) **گام ۱: تعیین تابع درآمد ($athbf{R(x)}$):** قیمت فروش هر لامپ $\mathbf{200}$ تومان است. $$\mathbf{\text{درآمد } R(x) = 200x}$$ **گام ۲: تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$):** $\mathbf{\text{سود } = \text{درآمد} - \text{هزینه}}$ $$\mathbf{P(x) = R(x) - C(x)}$$ $$\mathbf{P(x) = 200x - (x^2 + 40x + 100)}$$ $$\mathbf{P(x) = 200x - x^2 - 40x - 100}$$ $$\mathbf{P(x) = -x^2 + 160x - 100}$$ **تابع سود:** $\mathbf{P(x) = -x^2 + 160x - 100}$ ### ب) تعداد لامپ برای بیشترین سود ($athbf{x_{\text{رأس}}}$) تابع سود یک سهمی رو به پایین است ($athbf{a = -1}$). بیشترین سود در $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$ اتفاق می‌افتد. * **ضرایب:** $\mathbf{a = -1}$، $\mathbf{b = 160}$، $\mathbf{c = -100}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{160}{2(-1)} = 80}$$ **پاسخ:** تولیدی باید $\mathbf{80}$ لامپ در روز تولید کند تا بیشترین سود را داشته باشد. ### پ) بیشترین سود روزانه ($athbf{P_{\text{ماکسیمم}}}$) مقدار بیشترین سود برابر است با مقدار تابع سود در $\mathbf{x = 80}$: $$\mathbf{P(80) = -(80)^2 + 160(80) - 100}$$ $$\mathbf{P(80) = -6400 + 12800 - 100}$$ $$\mathbf{P(80) = 6400 - 100 = 6300}$$ **پاسخ نهایی:** بیشترین سود روزانه این کارگاه $\mathbf{6300}$ تومان است.